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理查德·费曼强调，咱们的日常领导不行完好意思地描画事物的实质，至极是在微不雅圭臬上。费曼因研究光的量子物理以过头与物资的互动而取得了诺贝尔奖。在他年青时，行动一个研究生，他初次忽视了一种全新的看待量子力学的方式，被称为旅途积分公式（Path Integral Formulation）。这个见地对于咱们对量子物理的领略起到了中枢作用。它不仅为咱们提供了对于量子宇宙反直观活动的深入清爽，还揭示了如何从量子描画中得出经典的物理定律如F=ma。

经典物理学和量子物理学在谈论粒子位置方面有着根柢的互异。在经典物理中，咱们不错通过合并通盘的力并使用方程来准确地谈论一个粒子在职何特定期间的位置。

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举例，一个摆脱粒子沿直线迁移，而一个被投向空中的棒球将沿着抛物线轨迹。相对地，在量子力学中，咱们只可谈论粒子在某个位置被发现的概率。这意味着即使屡次重叠合并实验，粒子的位置也可能每次都不同。这种概淘气特质是量子物理中最令东说念主畏怯的秉性之一，它指出量子粒子不再沿着单一细则的旅途从少量迁移到另少量。

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履行上会探讨通盘可能的旅途，并将这些可能性进行累加。这种累加通盘可能旅途的花式被称为费曼旅途积分，它是一个至极出东说念主预思的见地。一个经典物体，如棒球，是如何除名一个明确旅途的，同期又与量子的总旅途累加理念相等合，是物理学中最深邃的主题之一。

咱们思要知说念一个量子粒子从运转期间t_i的位置x_i迁移到后续期间t_f的位置x_f的概率。在量子力学中，这种概率是由振幅得到的，这是一个复数。通过计较振幅的齐备值的泛泛，就得到了履行的概率。

为了细则粒子从点i到点f的振幅（记为K_fi），费曼忽视了旅途积分的见地。与经典物理中粒子沿着单一轨迹迁移的不雅点不同，费曼在量子力学中忽视，咱们应该探讨通盘可能的旅途。每条可能的旅途都有一个特定的权重，由底下的抒发式暗示，

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其中，ℏ是量子力学中的基本常数——普朗克常数，而S代表与每条旅途联系的作用量。

作用量是经典力学花式中的中枢对象，被称为拉格朗日公式（Lagrandian Formulation）。为了计较一个量子粒子从点i迁移到点f的总振幅，费曼忽视将通盘可能的旅途孝敬加总。

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这不单是是通俗的累加，而是波及一种称为“旅途积分”的复杂积分花式，这亦然它被称为量子力学的旅途积分公式的原因。咱们粗野用这个公式暗示它

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费曼的这个表面基于双缝实验（Double-slit experiment），因此双缝实验为咱们提供了清爽这一复杂见地的基础。

双缝实验

双缝实验是物理学中的一个经典实验，旨在探索光和物资的波动性和粒子性。以下是该实验的简要描画。

实验修复：在一个樊篱上制作两个相距至极近的小缝，这个屏幕背面再放一个检测屏或者传统的胶片来纪录通过破绽后的波或粒子散布。

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经典粒子的放荡：当向这两个缝投射经典粒子（如小球）时，检测屏上会出现与每个缝对应的两个散布区域。通俗来说，每个粒子都和会过其中一个缝，并在自后的区域撞击。

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波的放荡：当用波（如光波）照耀两个缝时，从两个缝出来的波会彼此插手。在检测屏上，会出现轮流的亮堂和暗区，这被称为插手图案。亮堂的区域暗示波的峰值和谷值相加，酿成构造性插手；暗的区域暗示一个波的峰值与另一个波的谷值重逢，它们彼此对消，酿成遏制性插手。

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量子粒子的放荡：当使用量子粒子（如电子）进行实验时，放荡变得更为意旨和玄妙。当一次只辐射一个电子时，咱们预期会看到与经典粒子访佛的两个散布。但履行上，电子在检测屏上酿成了与波访佛的插手图案。这意味着单个电子似乎同期“感知”了两个缝，就好像它履历了通盘可能的旅途。

费曼的旅途积分花式为咱们提供了一个全新的视角，匡助咱们清爽量子表象。与薛定谔的波函数花式不同，费曼的花式莫得试图描画一个粒子在特定期间的景况，而是强调了从肇端到终了景况的通盘可能旅途的穷困性。

当在樊篱上加多第三、第四、第五个孔时，咱们不仅需要探讨穿过每一个孔的旅途，还需要探讨这些旅途之间的通盘可能组合。

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当咱们引入更多的樊篱和更多的孔时，要探讨的旅途组合变得越来越复杂。

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极点情况下，若是咱们连气儿加多孔并使樊篱靠得富足近，它们履行上会消失，留住一个莫得任何物理梗阻的绽开空间。

通盘可能的轨迹：在莫得梗阻的空间中，为了计较从肇端点到极度的总振幅，咱们需要对通盘可能的旅途中的每一个旅途产生的振幅进行总额。

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这些可能的轨迹不仅限于空间，况且还包括期间。这意味着一个粒子不错采纳各式万般的期间轨迹，从早到晚，或以致可能从晚到早（固然这在咱们的日常领导中是不可能的）。

为了细则从起首到极度的粒子的总的可能性或振幅，咱们必须探讨通盘这些可能的旅途和期间轨迹，并为每一个都赋予一个特定的权重。但问题是，咱们应该为每个旅途分拨什么权重？

为此，每个旅途都被赋予一个特定的复相位

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其中Φ是咱们为每条旅途分拨的某个数字，它决定了它如何为总振幅作念出孝敬。这意味着每条旅途对总振幅的孝敬都是以一个具有细则相位的单元复数的容貌出现的。在复平面上，这不错暗示为一个长度为1、角度为Φ的箭头。

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中枢的问题是如何细则每个旅途的相位Φ。谜底与旅途的物理属性接洽，具体来说，与所谓的“作用量（action）”S接洽。每条旅途的复相位由

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给出，其中ħ是普朗克常数。作用量在经典物理中是一个中枢的见地，界说是：粒子的动能与其势能之差在某段期间内的积分，

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具体来说，作用量是从期间t_i到t_f的动能K与势能U之差的积分。这个被积分的量，K-U，被称为拉格朗日量（Lagrangian），它是经典力学中的一个缺欠见地，尤其在所谓的拉格朗日力学中。

底下评释这个权重的由来，

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率先，普朗克常数ħ是量子力学的缺欠常数，具有能量和期间的单元。

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由于Φ是无量纲的角度（以弧度为单元），因此必须有某种方式摒除这些单元。作用量S和ħ的比值提供了这种摒除机制，确保了e^(iS/ħ)这个抒发式在单元上的正确性。

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此外，动能K和势能U是能量单元，与期间相乘时会得到作用量S的单元。尽管可能合计使用动能和势能的总额更为直不雅，但履行上应该取它们的差值。这个遴荐背后的原因将在后续的考虑中进一步评释。

如何从量子力学中得出F=ma？

当咱们将不雅察的圭臬从微不雅的量子粒子延迟到宏不雅的日常物体时，经典的物体轨迹会变得彰着。费曼忽视的方程初看起来有些反直观，因为它似乎建议咱们对一个粒子可能走的通盘旅途乞降，而每条旅途只是在相位上有所不同。那么如何评释在咱们日常生涯中明确看到的表象，举例一个棒球沿一个明晰的抛物流露径遨游？

这是量子力学和经典力学的错乱问题。既然量子力学是一个更为基础的表面，咱们的日常经典规矩必须大略从它中得出。费曼的旅途积分花式提供了一个最深入的见地，评释了为什么这种从量子描画到经典描画的过渡是可能的。简而言之，对于大型物体，举例棒球，旅途积分中的大无数项在乞降时会彼此对消，留住的只是那条经典轨迹。

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原因是这么的，当咱们试图了解为何大无数旅途在费曼的花式中会彼此对消时，咱们不错探讨每一条旅途如安在复平面上被暗示。

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每个旅途都不错被思象为复平面上的一个单元长度的箭头，其角度由旅途的作用量S除以普朗克常数ħ细则。每当咱们登科一条特定的旅途，咱们就会左证它的作用量计较出这个角度，并在复平面上描画出相应的箭头。

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可是，普朗克常数ħ的值至极至极小，约莫是10^-34，这意味着任何微小的作用量变化都会导致在复平面上的巨大角度变化。因此，即使两条轨迹唯有狭窄的互异，它们在复平面上的箭头可能会指向完全不同的标的。

探讨到这少量，当咱们探讨通盘可能的轨迹时，会得到一系列指向各式立地标的的箭头。左证费曼的旅途积分花式，咱们需要将通盘这些箭头合并。但因为它们指向各式不同的标的，是以当咱们把它们全部加在一王人时，它们着实会彼此对消，仿佛什么也莫得得到。

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这就评释了为什么，在探讨通盘可能旅途的时候，唯有那些经典的旅途不会被其他旅途对消，从而在宏不雅圭臬上得到权贵的后果。

对于宏不雅圭臬的经典物体，由于其作用量S稠密于普朗克常数ħ，旅途积分中的大无数项都会彼此对消，只留住少数项。缺欠是要找到那些作用不会因为狭窄的轨迹变化而产生大的变化的旅途。这些旅途过头隔邻的旅途的作用量都大致相易，是以它们在复平面上暗示的箭头标的都相似，这些箭头就不会彼此对消。

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设思有这么一个至极的旅途，即使你对其进行狭窄的调遣，它的作用也着实保捏不变。这些旅途过头隔邻的旅途在乞降时会彼此加强，而其他的旅途则会彼此对消。这种具有相似作用和不会因微小变化而更变其作用的旅途被称为“静态旅途（Stationary path）”。

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静态旅途在乞降中的主导作用不错这么清爽：探讨一个静态旅途，并对其引入一些微小的扰动，这个新的旅途的作用与原旅途相似，至少在第一近似中是这么。

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这和咱们找到函数的庄重点（举例最小值点）的思法是同样的：在这么的点上，函数值不会因为沿函数迁移一小段距离而发生权贵的变化，因为在这些点上的斜率为零。

寻找静态旅途与寻找函数的逍遥点相似，只是刻下咱们正在探索的是一个连气儿的轨迹，而不单是是一个点。不外，在经典物理的限度下，主导旅途积分的履行上唯有静态作用的旅途。令东说念主骇怪的是，这些静态旅途其实等于咱们所称的经典旅途。

总的来说，当你将作用量的数学抒发式代入静态条款时，

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的轨迹是静态的。这履行上等于经典力学中的F=ma，这里的力与势能的关系为力等于势的负导数。

而旅途积分得出F=ma 的原因并不是因为经典旅途给出了一个巨大的孝敬，从而占了优势。事实上，每个旅途对总额的孝敬都是1。经典旅途大略胜出的原因在于，其对应的作用是静态的，这意味着通盘聚合该旅途的箭头在复平面上都朝着相易的标的，从而它们叠加起来而不是彼此对消。但这只是对于像棒球这么的宏不雅物体来说。对于像电子这么的小粒子，其作用量接近于普朗克常数，因此，与普朗克常数的比不再是一个巨大的数值，这也意味着在量子圭臬上，不单是是经典旅途不错给出灵验的孝敬。履行上，可能有很多不同的旅途都对量子粒子的活动产生影响，这使得经典的F=ma 在这里不再那么至关穷困。

我之前提到过，若是咱们在界说作用量时遴荐一个不同的标志，即用K+U而不是K-U，那么静态旅途的方程仍然是灵验的，可是U的标志会变成相背的。这将导致得出ma=−F 而不是经典的F=ma。因此，为了正确地重现经典物理的谈论，咱们如实需要使用K−U。

当一个经典粒子的轨迹使作用量最小化时，这个表象被称为“静态作用量旨趣”或“最小作用量旨趣（Principle of Least Action）”。在许厚情况下，经典轨迹如实是作用量的最小值，是以“最小作用量旨趣”这个名字更为开阔。这一旨趣是经典物理学的基石太阳城娱乐体育，履行上比F=ma更为基础。

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